Consigne: Deux personnes lancent chacune \(n\) fois une pièce de monnaie
Quelle est la probabilité \(p_n\) qu'elles obtiennent le même nombre de piles ?
Initialisation On a \(\Omega=\{p,f\}^{2n}\) et on a équiprobabilité, donc : $$P(A)=\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega}=\frac{\operatorname{Card} A}{2^{2n}}$$
Cardinal d'un événement intermédiaire \(p_n=P(\underbrace{\text{les 2 joueurs obtiennent autant de piles l}^\prime\text{un que l}^\prime\text{autre}}_{E})\)
Cherchons le cardinal de \(E_k=\{\text{ils ont tous les deux fait exactement }k\text{ piles}\}\) :
Il y a \(\binom nk\) façons de placer les \(k\) piles du premier joueur et \(\binom nk\) façons de placer les \(k\) piles du deuxième
On a donc \(\operatorname{Card} E_k=\binom nk^2\)
En reformulant, on a : \(E=\{\text{il existe un }k\text{ tel que les deux joueurs ont fait tous les deux }k\text{ piles}\}\)
Et donc, comme les \(E_k\) sont disjoints, on a : $$E=\bigcup^{n}_{k=0}E_k\implies \operatorname{Card} E=\sum^n_{k=0}\operatorname{Card} E_k=\sum^n_{k=0}\binom nk^2$$
Au final, $$P(E)=\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}$$